Uma
outra maneira de perceber a dimensão de uma massa:
Se
os comprimentos diminuem pela metade:
Uma
massa m situada a uma distância R da Terra sofre uma força
de atração F de : F = K.m.Mt / R²
Sua aceleração
em direção à Terra é de a = K.Mt / R²
( aceleração = força dividida pela massa = F /
m)
Inicialmente em repouso, ao final de um tempo T esta massa m terá
percorrido uma distância d = a.T²/2 = (K.Mt / R²).(T²/2)
d
= (K Mt / R²) (T²/2) ou bien d
R²= (K Mt ) (T²/2) (1)
Se reduzirmos as distâncias ( R e d ) pela metade ( figura à
direita ), como se o espaço fosse encolher, d R²= (K Mt
) (T²/2) passa a ser
(d/2)
(R²/4) = (1/8) d.R² = (K.Mt)
(T²/2) (2)
Para que a equação (2) seja
equivalente`à equação (1)
, ou seja, para que na situação
(2) a lei de atração das massas seja a mesma que
na situação (1), será
necessário ou :
-
dividir
K por 8
-
dividir
M par 8
Assim, para conservar o mesmo valor da constante K (constante de Newton),
e conservar a lei de atração de massas em um mundo "encolhido
pela metade " será necessário dividir o valor das massas
por 8.
Ao reduzir todas as distâncias de um espaço com um fator
y as massas serão reduzidas de um fator y³
O que nos faz supor que a massa dependerá do espaço e que
conterá em suas dimensões o fator L³
De uma forma mais simples, podemos fazer o seguinte raciocínio:
Se a massa da Terra
Mt não muda ao diminuir todas as distâncias pela metade,
a massa m, estando duas vezes mais próxima da Terra, deverá
sofrer uma força 4 x maior e assim acelerar 4 x mais. Assim, a
distância percorrida d será também 4x maior. Na realidade
a distância d ao invés de ser 4x maior, diminui pela metade.
Existe então uma diferença de um fator 8, ou seja, 2³.
Para conservar a lei de atração de massas (e conservar o
valor da constante de Newton ) será necessário então,
ao diminuir as distâncias pela metade, reduzir as massas com um
fator 8.
O que nos leva a supor que a massa dependerá do espaço e
conterá o fator L³ em suas dimensões.
Se o tempo
diminui pela metade (o tempo fica mais lento ou passa mais lentamente)
Uma massa m situada
a uma distância R da Terra sofre uma força de atração
F de : F = K.m.Mt / R²
Sua aceleração em direção à Terra é
de a = K.Mt / R² ( força dividida por massa = aceleração
)
Ao término
de um certo tempo T esta massa m terá percorrido uma distância
d = a.T²/2 = (K.Mt / R²).(T²/2)
d = (K.Mt / R²).(T²/2) ou seja d = (1/2).(K.Mt / R²).T²
(3)
Se esta massa percorre
esta distância d na metade do tempo (substituímos T por T/2
) (3) passa a ser:
d = (1/2).(K.Mt / R²).(T/2)² ou seja d = (1/2).(1/4).(K.Mt /
R²).T² (4)
Comparando (3)
e (4) :
d = (1/2).(K.Mt /
R²).T²
(3)
d = (1/2).(1/4).(K.Mt / R²).T² (4)
Para que a equação
(3) seja equivalente à equação (4)
será necessário ou:
- multiplicar K
por 4
- multiplicar M
por 4
Assim, para conservar
o mesmo valor da constante K (constante de Newton), e conservar a lei
de atração das massas em um mundo "onde o tempo passa
2 x mais lentamente " será necessário multiplicar o
valor das massas por 4.
Ao lentificar a passagem do tempo em um fator y as massas serão
aumentadas de um fator y²
Ou, ao acelerar a passagem do tempo de um fator y as massas serão
reduzidas de um fator y²
O que nos leva a supor que a massa dependerá do tempo e conterá
o fator T-2 em suas dimensões.
Mais
simplesmente..
Mesmo
raciocínio para o Tempo, se o tempo diminue pela metade (torna-se
mais lento)
Para acelerar e percorrer uma mesma distância d na metade
do será necessário acelerar 4 x mais, uma força
4 x maior e assim uma massa 4 x maior para produzir esta força
de atração.
Para conservar o valor da constante de Newton, a massa deverá
aumentar de um fator 4 se o tempo transcorre 2 vezes mais lentamente.
Podemos
notar que no caso onde as distâncias variam mas não o tempo,
as densidades ( massa por unidade de volume ) serão conservadas.
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